Уравнение неразрывности. Уравнение Бернулли.
Коэффициент поверхностного натяжения жидкости
Реальная жидкость слабо сжимаема и вязкая, т.к. в движущейся жидкости всегда возникают силы внутреннего трения. Исследуем свойства реальной жидкости на модели идеальной жидкости. Несжимаемая, не обладающая вязкостью жидкость называется идеальной жидкостью .
Линии, в каждой точке которых касательная совпадает с вектором скорости частиц жидкости, называются линиями тока
Установившееся (стационарное) течение - движение жидкости, когда скорость частиц в каждой точке не изменяется со временем - ламинарное движение. Иначе - движение турбулентное.
При стационарном течении траектории частиц совпадают с линиями тока, линии тока не пересекаются.
Объём жидкости, ограниченный линиями тока, называется трубкой тока.
Уравнение неразрывности
Рассмотрим струю идеальной жидкости, протекающей со скоростями v1 и v2 через сечения S1 и S2. Т.к. жидкость несжимаема и неразрывна, то через сечения S1 и S2 за время Δt пройдут одинаковые объёмы (следовательно, и массы Δm жидкости): S1 v1 = S2 v2, т.е.
S2 v2 = S1 v1 = const
- уравнение неразрывности струи.
Для реальной реки скорость в узких местах больше чем в широких.
Уравнение Бернулли
Кинетическая энергия массы жидкости Δm в сечении S1 и S2 равна соответственно
А потенциальная энергия равна
где h1,2 высота над дном.
Согласно закону сохранения энергии изменение механической энергии массы жидкости равно работе внешних сил давления по перемещению массы Δm.
ΔW = ΔA ,
где .
Пути перемещения массы в сечениях S1 и S2 равны v1Δt и v2Δt, а работы равны
где F1 - сила давления по перемещению втекающей массы, а (-F2) - сила давления, направленной против втекающей массы. Работа
Давление - отношение нормальной компоненты силы к площади сечения.
Тогда перепишем равенство в виде
где - объём массы Δm .
Подставим выражения ΔW и ΔA :
Учтём, что - плотность жидкости, тогда получаем
или
- уравнение Бернулли (1738 г.)
При стационарном течении идеальной (несжимаемой, невязкой) жидкости полное давление, равное сумме динамического , гидравлического (ρgh) и статического (p) давлений, постоянно в любом поперечном сечении потока.
Для горизонтальной трубки тока: ρgh1 = ρgh2
В местах сужения скорость течения возрастает, а давление понижается.
В газе также выполняется этот закон при скоростях его движения менее v ≈ 340 м/с - скорости звука: пульверизатор, крыло (циркуляция потока вокруг крыла).
VП
pВ < pH - возникает подъёмная сила
В реальных жидкостях и газах возникает внутреннее трение слоёв - вязкость, которая понижается с повышением температуры для жидкостей и возрастает для газов. Сила трения за счёт вязкости для двух плоскопараллельных пластин равна
где v скорость движения пластинки, S - площадь, d - расстояние между ними, η - коэффициент вязкости. Скорость перемещения слоёв меняется как
, т.е. - сила трения для слоёв жидкости, соприкасающихся между собой.
В трубе скорость жидкости равна нулю около стенок и меняется к центру по закону
На единицу (S=1) поверхности (цилиндрической) действует сила трения (по модулю).
Пуазейль в 1841 г. установил, что средняя скорость ламинарного течения жидкости в трубе равна
- закон Пуазейля,
где . Тогда объём жидкости, протекающей в трубе, равен
.
При движении тел в жидкостях и газах на них действуют сила лобового сопротивления и подъёмная сила. В идеальной жидкости сила лобового сопротивления отсутствует из-за ламинарности обтекания для бесконечного цилиндра - симметричная картина. Реально за телом всегда возникает турбулентность из-за отрыва слоя. Энергия вихрей расходуется на нагрев жидкости, давление сзади будет ниже, чем спереди возникает сила сопротивления.
Для шарика сила сопротивления равна
- закон Стокса.
Fсопр минимальна для тел каплевидной формы.
Коэффициент поверхностного натяжения жидкости
На каждую молекулу в жидкости действует силы притяжения со стороны других молекул, находящихся на расстоянии R ≈ 3r (где r - радиус молекулы) - это радиус сферы молекулярного действия. Поверхностный слой жидкости толщиной действия оказывает на всю жидкость давление, равное сумме результирующих сил притяжения, нескомпенсированных извне.
Капля жидкости в свободном состоянии принимает форму шара, т.к. в этом случае её поверхность минимальна, т.е. минимально давление и потенциальная энергия) поверхностного слоя. Вдоль поверхности жидкости действуют силы притяжения - силы поверхностного натяжения. Эта сила пропорциональна числу молекул, т.е. длине контура l:
где σ - коэффициент поверхностного натяжения.
Работа сил поверхностного натяжения при увеличении контура
где ΔS = 2lΔx - увеличение поверхности плёнки с двух сторон.
Увеличение потенциальной энергии при растяжении плёнки
При изотермическом сокращении потенциальная энергия поверхности жидкости может перейти в работу, т.е. свободная энергия поверхности жидкости равна
Коэффициент поверхностного натяжения жидкости можно изменить: ослабить поверхностно-активными веществами, если их молекулы притягиваются к молекулам жидкости слабее и наоборот.
Под искривлённой поверхностью жидкости возникает дополнительное давление Δp :
но
- формула Лапласа
Два пузыря: из меньшего воздух перекачивается в больший.
т.к. Δp2 = Δp1
В узких трубках и щелях из-за смачиваемости (несмачиваемости) стенок жидкостью возникает искривление поверхности жидкости - мениск, а сами трубки называются капиллярами. Из-за лапласова давления жидкость в капилляре поднимается (при смачивании) или опускается (при несмачивании стенок).
Для смачивающей жидкости
Но радиус кривизны жидкости R связан с радиусом капилляра r:
, где θ - угол краевой, т.е. высота подъёма в капилляре равна
- формула Жюрена.
Для воды σ = 0.073 н/м , ρ = 10 −3 кг/м3 при θ ≈ 0 , r = 10 −6 м
h ≈ 30 м.